Лектор – доцент Чубаров И.А.

Экзаменационная программка курса «Линейная алгебра» для факультета

Биоинженерии и биоинформатики МГУ. 1 семестр 2011/2012 учебного года

Лектор – доцент Чубаров И.А.

  1. Системы линейных уравнений. Метод Гаусса упрощения системы линейных уравнений и матрицы. Главные и свободные неведомые. Разложение общего решения неоднородной системы линейных уравнений в сумму личного решения и общего решения соответственной однородной системы уравнений.
  1. Матрицы. Сложение Лектор – доцент Чубаров И.А. матриц, умножение матрицы на число, характеристики этих операций.
  2. Умножение матриц и его характеристики. Оборотная матрица, ее единственность. Транспонирование матриц. Транспонирование произведения. Воззвание произведения.
  3. Перестановки и подстановки, их символ. Понятие определителя квадратной матрицы: формула полного разложения. Характеристики определителей (для транспонирования без подтверждения). Определители диагональной и треугольной матриц Лектор – доцент Чубаров И.А..
  4. Миноры, алгебраические дополнения, разложение определителя по строке и столбцу. Фальшивое разложение.
  5. Лемма об определителе матрицы с углом нулей. Определитель произведения 2-ух квадратных матриц. Исследование квадратной системы линейных уравнений. Формулы Крамера для решения квадратной системы линейных уравнений с ненулевым основным определителем.
  6. Аспект существования и формула оборотной матрицы. Вычисление оборотной матрицы Лектор – доцент Чубаров И.А. при помощи простых преобразований. Два метода решения матричных уравнений AX = B, XA = B (если ).
  7. Векторы на плоскости и в пространстве, линейные операции надними. Базис, координаты вектора в базисе, запись операций над векторами в координатах. Разложение вектора по базису на прямой, плоскости и в пространстве.
  8. Скалярное произведение 2-ух векторов. Выражение ортогональной проекции 1-го Лектор – доцент Чубаров И.А. вектора на другой. Характеристики скалярного произведение и его вычисление в координатах. Матрица Грама. Ортонормированный базис, разложение вектора по ортонормированному базису.
  9. Векторное произведение 2-ух векторов, его характеристики (дистрибутивность без подтверждения) и выражение в координатах. Аспект коллинеарности 2-ух векторов.
  10. Смешанное произведение 3-х векторов, его характеристики, выражение в координатах. Объем нацеленного Лектор – доцент Чубаров И.А. параллелепипеда. Аспект компланарности 3-х векторов.
  11. Радиус-вектор точки. Декартова система координат. Выражение координат вектора через координаты его конца и начала. Прямоугольная (ортонормированная) декартова система координат. Формула расстояния меж 2-мя точками.
  12. Ровная на плоскости. Векторные уравнения прямой на плоскости: параметрическое и обычное. Уравнения прямой на плоскости в координатах: каноническое Лектор – доцент Чубаров И.А., через две точки, общее линейное, с угловым коэффициентом. Обоюдное размещение 2-ух прямых на плоскости. Вычисление расстояния от точки до прямой, угла меж 2-мя прямыми и расстояния меж 2-мя параллельными прямыми на плоскости.
  13. Ровная в пространстве. Векторное параметрическое уравнение прямой. Координатные формы уравнений прямой: параметрические, канонические, по двум точкам Лектор – доцент Чубаров И.А.. Вычисление угла меж 2-мя прямыми, расстояния от точки до прямой, расстояния меж 2-мя параллельными и скрещивающимися прямыми в пространстве. Уравнения общего перпендикуляра 2-ух скрещивающихся прямых*.
  14. Плоскость в пространстве. Векторное параметрическое и обычное уравнения плоскости, внедрение смешанного произведения. Координатные формы уравнения плоскости: общее, при помощи определителя, через 3 точки. Вычисление расстояния от точки до Лектор – доцент Чубаров И.А. плоскости, угла меж плоскостями, расстояния меж параллельными плоскостями. Обоюдное размещение 2-ух плоскостей, прямой и плоскости в пространстве. Задание прямой как полосы скрещения 2-ух плоскостей (переход к параметрическим уравнениям).
  15. Понятие базиса конечной совокупы матриц данных размеров (а именно, строк либо столбцов). Определение ранга матрицы. Аксиома о ранге Лектор – доцент Чубаров И.А. матрицы. Вычисление ранга с помощью простых преобразований (метод нахождения базовых столбцов).
  16. Базовый минор, равенство ранга матрицы порядку ее базового минора. Вычисление ранга способом окаймления миноров (формулировка способа). Аспект равенства определителя нулю.
  17. Базовая система решений однородной системы линейных уравнений. Общее решение однородной и неоднородной систем линейных уравнений. Аксиома Кронекера-Капелли и ее следствие Лектор – доцент Чубаров И.А. (условие единственности решения).
  18. Определение линейного места. Примеры. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис, всепостоянство числа векторов базиса данного места, размерность. Координаты вектора в базисе, запись операций над векторами в координатах. Матрица перехода от старенького базиса к новенькому. Изменение координат вектора при изменении базиса.
  19. Подпространства в линейном пространстве. Примеры. Линейная Лектор – доцент Чубаров И.А. оболочка конечного набора векторов и ее размерность. Задание подпространства системой линейных однородных уравнений. Построение базиса (базовой системы решений) в подпространстве решений однородной системы линейных уравнений.
  20. Скрещение, сумма подпространств линейного места, связь их размерностей (без подтверждения). Ровная сумма подпространств, условия, при которых сумма является прямой суммой.
  21. Линейные отображения и преобразования Лектор – доцент Чубаров И.А. (операторы) линейных пространств. Ядро и образ (огромное количество значений) линейного отображения. Условие инъективности линейного отображения. Матрица линейного отображения; линейного оператора и ее изменение при подмене базиса. Вычисление ядра и вида линейного отображения с помощью матрицы этого отображения.
  22. Свой вектор и собственноезначение линейного оператора и матрицы. Линейная независимость собственных векторов Лектор – доцент Чубаров И.А., отвечающих разным своим значениям (подтверждение для 2-ух и 3-х векторов). Характеристическое уравнение и характеристический многочлен матрицы линейного оператора. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду (нужное и достаточное условие – существование базиса из собственных векторов; достаточное условие – наличие n разных собственных значений).
  23. Евклидово место (место со скалярным произведением). Матрица Лектор – доцент Чубаров И.А. Грама. Неравенство Коши-Буняковского. Ортонормированный базис, его построение по методу ортогонализации (Грама-Шмидта) с следующим нормированием. Ортогональное дополнение; ортогональная проекция вектора на подпространство (только формулировки).

25. Билинейные и квадратичные функции, их матрицы. Положительно определенная квадратичная функция, ее канонический вид. Аспект Сильвестра положительной определенности (без подтверждения).

26. *Изменение матрицы билинейной функции при Лектор – доцент Чубаров И.А. подмене базиса, неизменность ее ранга и знака определителя. Приведение квадратичной формы к каноническому (нормальному) виду способом выделения квадратов (метод Лагранжа) (можно на примере).

Перечень литературы.

  1. Умнов А.Е. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. – М., 2006.

2. Кадомцев С.Б. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. – М.: Физматлит, 2003.

3. Беклемишева Л.А., Петрович А Лектор – доцент Чубаров И.А..Ю., Чубаров И.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре.– М.: Физматлит, 2003.

4. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.– М.: Наука, Физматлит, 2000.

5. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч. I. Базы алгебры. Ч. II. Линейная алгебра. – М.: Физматлит, 2000 – 2005.

  1. Шевцов Г.С. Линейная алгебра: теория и прикладные Лектор – доцент Чубаров И.А. нюансы. М.: Деньги и

статистика, 2003.

7. Ильин В.А., Ким Г.Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. - М., МГУ, 1998.

Примечание. В билете один вопрос и одна задачка. Формулировки схожи формулировкам из программки. Некие пункты программки разбиты на два билета. Претендующие на 4 либо 5 должны обосновать хотя бы одну аксиому из Лектор – доцент Чубаров И.А. билета. Пункты либо вопросы со * в билеты не включены, но могут употребляться как дополнительные вопросы.


lermontov-m-yu-svoeobrazie-kompozicii-romana-m-yu-lermontova-geroj-nashego-vremeni-sochinenie.html
lermontov-m-yu-tebe-kavkaz-ya-snova-posvyashayu-stih-nebrezhnij-sochinenie.html
lermontov-m-yu-tragediya-zhizni-pechorina-i-ego-pokoleniya-sochinenie.html